L’utilisation d'hypercubes

Le passage aux comptes

Les programmes du passage aux comptes, c’est-à-dire les programmes qui permettent de passer des données du SIE aux estimations de la comptabilité nationale, font largement appel aux hypercubes. Ceux-ci peuvent être traités par des logiciels spécialisés mais ils peuvent également être traités dans le cadre de bases de données relationnelles par le langage SQL.

La logique du traitement du passage aux comptes sera présentée dans le cadre d’un exemple simplifié.

Supposons que l’économie soit constituée de 4 sous-secteurs d’activité AEGA01, AEGA02, AEGB01, AEGB02 et que nous cherchions à calculer P1, P2 et B1 à partir des variables suivantes :

R212 Achats matières premières
POURBOIR Pourboires
RC302 Production vendue
TRANSPRO Transport sur production

Les formules de calcul étant les suivantes :

P1 = RC302 + POURBOIR - TRANSPRO
P2 = R212 -TRANSPRO
B1 = P1 - P2

La première étape consiste à traduire ces égalités dans le cadre d’une matrice, c’est-à-dire d’un hypercube à deux dimensions, de la manière suivante :

Les deux dimensions de ce tableau sont :

• l’opération de comptabilité nationale que nous désignerons par le code OP
• les éléments de calcul que nous appellerons variables exogènes et que nous considérerons appartenir à une dimension EX

Ce tableau possède même une troisième dimension : la dimension PC qui permet de déterminer si l’opération de comptabilité nationale correspond à une ressource ou à un emploi.

Le grand intérêt de ce tableau est de permettre une double lecture :

• En colonne, il montre comment est calculée une opération ;
• En ligne, il montre quel est l’impact d’une variable exogène sur les différentes opérations et en particulier les soldes tels que B1.

Ce tableau peut être représenté par un hypercube à trois dimensions. Dans une base de données relationnelle un hypercube correspond à une table, c’est-à-dire à un tableau où les colonnes correspondent aux variables et les lignes aux enregistrements, structurée de la manière suivante :

• Un hypercube ne comporte qu’une seule variable numérique, les autres sont des variables alphanumériques correspondant à des critères, c’est-à-dire aux dimensions du cube.

Ainsi, dans notre exemple, notre table de passage se présentera de la manière suivante :

Il ne reste plus qu’à présenter les variables exogènes sous la forme d’un hypercube. Celui-ci possèdera les dimensions suivantes :

• DA : l’année
• SI : le secteur institutionnel
• AE : le sous-secteur d’activité
• EX : la variable exogène

Supposons que les données exogènes se présentent sous la forme d'un hypercube à quatre dimensions, l'année (DA), le secteur institutionnel (SI), l'activité économique (AE) et le type de variable exogène (EX). Par exemple, cet hypercube se présente de la manière suivante :

Le programme de passage aux comptes est alors extrêmement simple : il consiste à réaliser à l’aide d’une requête SQL une jointure multipliant les deux hypercubes l’un par l’autre.

Si nous appelons TablePac l’hypercube correspondant à la table de passage et Exo l’hypercube des variables exogènes, la requête s’écrit de la manière suivante :

SELECT e.DA, e.SI, e.AE, e.EX, t.OP, t.PC, e.VAL*t.VAL as VAL
FROM TablePac t, Exo e
WHERE t.EX=e.EX

Les résultats de cette requête peuvent eux-mêmes être stockés dans une table qui comprend tous les résultats et qui montre comment ces résultats ont été obtenus. Par exemple, cette table peut être lue par un tableau croisé dynamique d'Excel qui présente l'avantage de pouvoir présenter facilement différents tableaux à partir de la même table de données. Ainsi, nous pouvons faire apparaître un premier tableau croisant les opérations, les secteurs institutionnels et les activités économiques :

Mais il peut également être intéressant de montrer comment sont calculées les opérations à partir des variables exogènes. Ainsi le tableau suivant met en évidence le calcul de la production :

Les produits matriciels

Il est possible de réaliser des produits de matrices de très grandes dimensions avec des requêtes SQL. En effet, faire un produit matriciel revient à faire des jointures par des requêtes SQL comme nous pouvons le montrer à partir d'un exemple simple.

Supposons donc une économie constituée de deux secteurs et de trois branches, nous disposons d'une matrice de passage secteurs-branches que nous nommons "Structure" et d'une matrice de production par secteurs "Secteurs". La matrice de passage secteurs-branches montre la répartition de la production de chaque secteur par activité économique et elle permet de calculer la production par branche lorsque l'on connaît la production par secteur. Ainsi, la matrice de production par branche s'obtient en faisant le produit de la matrice Structure par la matrice Secteurs. Par exemple :

Que fait le produit matriciel ?

• Il crée une nouvelle matrice ayant autant de lignes que la première matrice et de colonnes que la seconde. Dans notre exemple, il crée une matrice de trois lignes correspondant aux trois branches et une colonne correspondant à la valeur de la production.
• Pour calculer un élément se situant dans la matrice résultat à la ligne i et à la colonne j, il associe tous les éléments de la ligne i de la première matrice à tous les éléments de la colonne j de la deuxième matrice. Pour que cela soit possible, il est nécessaire que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième. Dans notre exemple, cette condition est vérifiée parce que les lignes de la première matrice et les colonnes de la seconde correspondent toutes deux aux modalités du même critère, le secteur.
• L'association est faite dans l'ordre, c'est-à-dire qu'à chaque secteur de la première matrice est associé le même secteur de la deuxième matrice.
• Le calcul consiste à multiplier les éléments correspondants et à faire la somme des résultats.

Il est facile de reproduire ce processus avec une requête SQL, à condition ,toutefois, d'avoir structuré les données en hypercubes. Ainsi, nous aurions pu saisir la même information en créant dans une base de données relationnelle une table Structure et une table Secteurs de la manière suivante :

On peut réaliser une jointure des deux tables par une requête SQL qui va multiplier les valeurs de la première table par celles de la deuxième, sous la condition que l'association ne portera que sur des données correspondant au même secteur. Cette requête peut s'écrire ainsi :

SELECT Structure.Secteur, Branche, Taux*Prod as Valeur
FROM Structure, Secteurs
WHERE Structure.Secteur=Secteurs.Secteur
;

Cette requête fait le produit cartésien des deux ensembles que constituent les deux tables en ne retenant que les combinaisons où le secteur est commun. On obtient alors la table Branches suivant :

Cette table peut être lue directement par un tableau croisé dynamique qui donnera le résultat en ne sélectionnant que le critère Branche. On peut également générer directement la table résultat par la requête SQL suivante :

SELECT Branche, SUM(Taux*Prod) as Valeur
FROM Structure, Secteurs
WHERE Structure.Secteur=Secteurs.Secteur
GROUP BY Branche
;

Ce qui donne :

On peut ainsi faire des produits de matrices de grande taille, par exemple de 700 x 700.

Notons, pour finir que les requêtes SQL sont plus puissantes que les produits matriciels et qu'elles en constituent en quelque sorte une extension. Il est, en effet, possible de travailler avec plus de deux critères. On peut ainsi ajouter des critères de taille et de catégorie juridique et obtenir par la même requête ce qui nécessiterait le recours à une multitude de produits matriciels.

Ce texte n'engage que son auteur : Francis Malherbe